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Un artificio para compartir

Anécdota del repaso que tuve la semana pasada con mis alumnos de Cálculo Integral.

La semana pasada en mi curso de Cálculo Integral estabamos repasando los temas del curso así que les propuse a mis estudiantes calcular la siguiente antiderivada:

    \begin{equation*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx \end{equation*}

Cuando la resolvieron, primero simplificaron el integrando usando la división larga para obtener:

    \begin{equation*} \frac{x^3}{x + 1} = 1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1} \end{equation*}

y después calcularon la Integral solicitada.

Cuando les expliqué el siguiente artificio, ví caras de cierta sorpresa e incluso emoción en algunos de ellos, por eso comparto esta idea.

El artificio consiste en sumar 1 - 1 en el numerador y separar el integrando en dos fracciones como se indica
a continuación:

    \begin{equation*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \int \left(\frac{x^3 + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{equation*}

Ahora factorizamos la diferencia de cubos x^3 + 1 y simplificamos para obtener:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \int \left(\frac{(x + 1)\left(1 - x + x^2\right)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx = \int \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{eqnarray*}

Calcular la Integral ahora es muy sencillo:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx &=& \int \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \\ &=& x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ln(x + 1) + C \end{eqnarray*}

Y con esto terminamos.


Muy fácil, ¿verdad?


¿Puedes explicarselo a alguien más?

diciembre 16, 2018
Posts | Cursos
Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de 4 libros de matemáticas de la escuela secundaria (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática.El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Él ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en nivel superior (nivel universitario). En este último caso, para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y honors, en español al igual que en inglés.

Website : https://www.aprendematematicas.org.mx/members/efrain-soto-apolinar/

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