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Un artificio para compartir

Anécdota del repaso que tuve la semana pasada con mis alumnos de Cálculo Integral.

La semana pasada en mi curso de Cálculo Integral estabamos repasando los temas del curso así que les propuse a mis estudiantes calcular la siguiente antiderivada:

    \begin{equation*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx \end{equation*}

Cuando la resolvieron, primero simplificaron el integrando usando la división larga para obtener:

    \begin{equation*} \frac{x^3}{x + 1} = 1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1} \end{equation*}

y después calcularon la Integral solicitada.

Cuando les expliqué el siguiente artificio, ví caras de cierta sorpresa e incluso emoción en algunos de ellos, por eso comparto esta idea.

El artificio consiste en sumar 1 - 1 en el numerador y separar el integrando en dos fracciones como se indica
a continuación:

    \begin{equation*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \int \left(\frac{x^3 + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{equation*}

Ahora factorizamos la diferencia de cubos x^3 + 1 y simplificamos para obtener:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \int \left(\frac{(x + 1)\left(1 - x + x^2\right)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx = \int \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{eqnarray*}

Calcular la Integral ahora es muy sencillo:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx &=& \int \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx	\\ &=& x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ln(x + 1) + C \end{eqnarray*}

Y con esto terminamos.


Muy fácil, ¿verdad?


¿Puedes explicarselo a alguien más?

diciembre 16, 2018

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