Un artificio para compartir

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La semana pasada en mi curso de Cálculo Integral estabamos repasando los temas del curso así que les propuse a mis estudiantes calcular la siguiente antiderivada:

$\begin{equation*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx \end{equation*}$

Cuando la resolvieron, primero simplificaron el integrando usando la división larga para obtener:

$\begin{equation*} \frac{x^3}{x + 1} = 1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1} \end{equation*}$

y después calcularon la Integral solicitada.

Cuando les expliqué el siguiente artificio, ví caras de cierta sorpresa e incluso emoción en algunos de ellos, por eso comparto esta idea.

El artificio consiste en sumar $1 - 1$ en el numerador y separar el integrando en dos fracciones como se indica
a continuación:

$\begin{equation*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \int \left(\frac{x^3 + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{equation*}$

Ahora factorizamos la diferencia de cubos $x^3 + 1$ y simplificamos para obtener:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \int \left(\frac{(x + 1)\left(1 - x + x^2\right)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx = \int \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{eqnarray*}$

Calcular la Integral ahora es muy sencillo:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx &=& \int \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \\ &=& x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ln(x + 1) + C \end{eqnarray*}$

Y con esto terminamos.

Muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicarselo a alguien más?

diciembre 16, 2018

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Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de 4 libros de matemáticas de la escuela secundaria (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática.El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Él ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en nivel superior (nivel universitario). En este último caso, para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y honors, en español al igual que en inglés.

Website : https://www.aprendematematicas.org.mx/members/efrain-soto-apolinar/

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Anécdota del repaso que tuve la semana pasada con mis alumnos de Cálculo Integral.

Efraín Soto Apolinar

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