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La suma de los coeficientes binomiales

Te explico por qué la suma de los coeficientes binomiales es 2 elevado a la potencia n.

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Cuando estaba estudiando la carrera de Ing. en Sistemas de Energía en la Universidad de Quintana Roo, el Prof. Lev V. Sabinin con frecuencia ofrecía seminarios de matemáticas para la comunidad matemática de la universidad. En uno de esos seminarios un día afirmó: «Es obvio que la suma de los coeficientes binomiales es 2^n.»

En ese momento, yo no pude ver por qué es obvio que la suma de los coeficientes binomiales es igual a 2 elevado a la potencia n. Debido a la cantidad de información que me llegaba en esos seminarios y mi falta de preparación en algunas cuestiones de matemáticas requeridas para aprovechar al máximo esas sesiones, olvidé preguntar al terminar la sesión la razón de tal obviedad. Cabe mencionar que estudié en la Universidad de Quintana Roo entre los años 1997 y 2002 (aunque obtuve el grado hasta el año 2006, por la cuestión de la defensa de mi tesis)

No fue, sino hasta cuando estaba estudiando el doctorado en Innovación Educativa en el Tecnológico de Monterrey (entre los años 2010 y 2014), yendo a casa en el camión, que vino a mi mente la razón por la cual es obvio que la suma de los coeficientes binomiales es 2^n. Y efectivamente, una vez que te das cuenta, es muy sencillo explicarlo.

Por el binomio de Newton,

    \begin{equation*} (x + y)^n = \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\,x^{i}y^{n-i} \end{equation*}

Cuando x = y = 1, se obtiene:

    \begin{equation*} 2^n = \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i} \end{equation*}

porque 1^{i} = 1 para cualquier potencia i entre 0 y n (observa que i toma todos los valores enteros posibles desde 0 hasta n). Y esta es la razón por la cual es obvio que la suma de los coeficientes binomiales es 2^{n}.

La moraleja es que con frecuencia se escucha a un profesor en clase o se lee de un autor afirmar en sus obras « es obvio que… »

Los que nos dedicamos a la educación no debemos suponer que esto es obvio para todos los que nos leen o escuchan. Si no lo hacemos explícito, puede ser que a más de uno le parezca que queremos impresionarle con lo poco que sabemos.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

2 responses on "La suma de los coeficientes binomiales"

  1. Carlos Yair Delgado Ruanoenero 8, 2019 at 11:30 pmResponder

    Disculpe donde estudio eso fue a en una escuela publica?,y como fue que el descubrio que los biominales a la potencia es 2?

    • Hola Carlos. Muchas gracias por tus preguntas.
      1. Todos mis estudios, excepto el doctorado, los realicé en escuelas públicas. El doctorado lo estudié en el Tecnológico de Monterrey.
      2. No estoy seguro de cómo funcionó en ese rato mi cerebro para que viniera esa mente a mi idea. Honestamente no estaba pensando en ese hecho, no tenía en mente un problema relacionado. Simplemente sabía la respuesta y cuando iba en el camión me dí cuenta que lo podía justificar. Me pareció evidente porque lo sabía, pero no sé exactamente a partir de cuándo lo sabía. No recuerdo haberlo podido explicar antes de ese día. Aún no sé cómo funciona mi cerebro.

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