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La suma de Gauss

Un niño de 8 años sumó los números enteros del 1 al 100 de una manera genial.

Prestamos fáciles y rápidos

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán. A los 8 años, su maestro de primaria le pidió que sumara:

    \begin{equation*} 1+2+3+4+\cdots+99+100 \end{equation*}

Primero utilizó la propiedad que dice: “si sumas varios números, el orden no importa, siempre obtienes el mismo resultado“. Y él definió S como el resultado de la suma que estamos buscando… Entonces, esto nos permite escribir:

    \[\setlength{\arraycolsep}{5pt} \begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcr} S &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& 4 &+& \cdots &+& 99 &+& 100\\ S &=& 100 &+& 99 &+& 98 &+& 97 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\\hline 2\,S &=& 101 &+& 101 &+& 101 &+& 101 &+& \cdots &+& 101 &+& 101\\ \end{array}\]

Pero el 101 se repite cien veces, porque cada lista de números de los primeros dos renglones va del 1 al 100 y del 100 al 1, respectivamente. Entonces, podemos obtener ese resultado como:

    \begin{equation*} 2\,S=(101)(100) \end{equation*}

En palabras, esto significa que 101 \times 100 es igual al doble de la suma que buscamos. Si dividimos entre dos, obtenemos la suma que buscamos:

    \begin{equation*} S=\ds\frac{(101)(100)}{2}=\frac{10\,100}{2}=5\,050 \end{equation*}

Esto indica que: 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 99 + 100 = 5\,050.

Muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

diciembre 15, 2018

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