La suma de Gauss

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán. A los 8 años, su maestro de primaria le pidió que sumara:

$\begin{equation*} 1+2+3+4+\cdots+99+100 \end{equation*}$

Primero utilizó la propiedad que dice: “si sumas varios números, el orden no importa, siempre obtienes el mismo resultado“. Y él definió $S$ como el resultado de la suma que estamos buscando… Entonces, esto nos permite escribir:

$\setlength{\arraycolsep}{5pt} \begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcr} S &=& 1 &+& 2 &+& 3 &+& 4 &+& \cdots &+& 99 &+& 100\\ S &=& 100 &+& 99 &+& 98 &+& 97 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\\hline 2\,S &=& 101 &+& 101 &+& 101 &+& 101 &+& \cdots &+& 101 &+& 101\\ \end{array}$

Pero el 101 se repite cien veces, porque cada lista de números de los primeros dos renglones va del 1 al 100 y del 100 al 1, respectivamente. Entonces, podemos obtener ese resultado como:

$\begin{equation*} 2\,S=(101)(100) \end{equation*}$

En palabras, esto significa que $101 \times 100$

es igual al doble de la suma que buscamos. Si dividimos entre dos, obtenemos la suma que buscamos:

$\begin{equation*} S=\ds\frac{(101)(100)}{2}=\frac{10\,100}{2}=5\,050 \end{equation*}$

Esto indica que: $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 99 + 100 = 5\,050$

Muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

diciembre 15, 2018

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Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de 4 libros de matemáticas de la escuela secundaria (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática.El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Él ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en nivel superior (nivel universitario). En este último caso, para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y honors, en español al igual que en inglés.

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Un niño de 8 años sumó los números enteros del 1 al 100 de una manera genial.

Efraín Soto Apolinar

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