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La importancia de entender

Entender es elemento clave en la formación de los estudiantes. Los profesores debemos concentrarnos en que nuestros alumnos entiendan las matemáticas.

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Con frecuencia mis estudiantes me preguntan si un resultado es correcto. Cuando ya resolvieron un problema o ejercicio y quieren estar seguros de que lo que han hecho está bien, buscan la manera de verificarlo. Bien preguntando al profesor, a un compañero o utilizando la tecnología.

Siempre intento ayudarles preguntándoles cómo pueden ellos verificar si lo que han hecho está bien. Por ejemplo, si se trata de calcular la antiderivada de una función, por la misma definición de antiderivada como la operación inversa de la derivada, derivar la antiderivada les dará la función que están antiderivando, ¿cierto? Bueno, no siempre es así. Aquí les comparto un ejemplo.

Calcula la siguiente antiderivada:

    \begin{equation*}    \int\sin(x)\,\cos(x)\cdot dx \end{equation*}

Método 1

Para calcular la antiderivada, define u = \sin(x), de manera que du = \cos(x) \cdot dx y la antiderivada es inmediata:

    \begin{eqnarray*} 	\int\sin(x)\,\cos(x)\cdot dx &=& \int u\cdot du\\ 		&=& \frac{u^2}{2} + \hat{C}_{1}\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\sin^2(x) + C_{1} \end{eqnarray*}

Método 2

Aplicando la misma estrategia que en el método 1, define u = \cos(x), de manera que du = - \sin(x) \cdot dx. Así que ante el cambio de variable obtenemos:

    \begin{eqnarray*} 	\int\sin(x)\,\cos(x)\cdot dx &=& - \int \cos(x)\left[-\sin(x)\cdot dx \right] \\ 		&=& - \int u \cdot du\\ 		&=& -\frac{u^2}{2} + \hat{C}_{2}\\ 		&=& -\frac{1}{2}\,\cos^2(x) + C_{2} \end{eqnarray*}

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Método 3

Finalmente, considera la identidad trigonométrica: \sin(2\,x) = 2\,\sin(x)\cdot \cos(x). Con esta identidad, el integrando puede reescribirse como

    \begin{equation*}    \int\sin(x)\,\cos(x)\cdot dx = \frac{1}{2}\,\int \sin(2\,x) \cdot dx \end{equation*}

Un simple cambio de variable usando u = 2\,x resuelve fácilmente el ejercicio:

    \begin{eqnarray*} 	\int\sin(x)\,\cos(x)\cdot dx &=& \frac{1}{2}\,\int \sin(2\,x) \cdot dx \\ 		&=& \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int \sin(2\,x) \cdot\left[2\, dx \right] \\ 		&=& \frac{1}{4} \, \int \sin(u) \cdot du\\ 		&=& -\frac{1}{4}\, \cos(2\,x) + C_{3} \end{eqnarray*}

Reconciliar los resultados

Ante la pregunta insistente de los estudiantes, ¿cuál antiderivada es la correcta? mi respuesta (que los remite a la definición de antiderivada para que calculen la derivada de la antiderivada para llegar a la función inicial) no da siempre el mismo resultado.

Lo que deben entender es que las funciones trigonométricas pueden expresarse de distintas maneras equivalentes y esto lo logramos a través de las identidades trigonométricas.

El siguiente ejercicio consiste en reescribir los resultados hasta ver que efectivamente se trata de la misma expresión. Y aquí cabe resaltar el papel de la constante de integración: este valor parece estorbar nuestra tarea de igualar los resultados, porque las constantes no son conocidas. Bueno, no son conocidas en las antiderivadas, pero si derivamos, esa constante desaparece. Así que no nos conviene tratar de hacer la igualdad entre las antiderivadas, sino entre sus respectivas derivadas.

El punto es que cuando el estudiante mecaniza los procedimientos sin entender qué hace y/o por qué funciona ese procedimiento, no se logra desarrollar la capacidad de razonamiento matemático. Pero si nos concentramos en las ideas, los significados y los porqués de los procedimientos y técnicas, es más plausible que se logre el desarrollo de competencias deseables en nuestros estudiantes.

De paso, nuestros alumnos podrán ver y apreciar el verdadero poder de las matemáticas.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

2 responses on "La importancia de entender"

  1. Me interesaría ponerme en contacto con ud. Profesor Soto, representó un grupo de Homeschooling de más de 2000 familias y me gustaría comentar algunos detalles con ud. Gracias

    • Disculpa por contestar hasta ahora.
      Me interesa mucho saber de qué se trata. Por favor, envía un mensaje de correo electrónico a mi cuenta personal: efrain[arroba]aprendematematicas.org.mx
      Me quedo al pendiente de tu mensaje.
      Saludos.

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