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La identidad trigonométrica poco conocida

Te presento una elegante identidad trigonométrica que es fácil de justificar y que muy probablemente no conozcas.

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Actualmente estoy preparando un curso que he titulado «Reto: 100 Integrales». En esta tarea, tengo que calcular antiderivadas y de acuerdo a como las resuelvo, las voy clasificando de acuerdo con la técnica de integración que utilizo para resolverla y el nivel de dificultad que tiene el procedimiento. Sin embargo, hay algunas que tienen una solución que no esperaba y he encontrado un par de resultados que no conocía.

Por ejemplo, la siguiente identidad trigonométrica:

    \begin{equation*} 	\sec^2 u \cdot \csc^2 u = \sec^2 u + \csc^2 u \end{equation*}

He preguntado a varios profesores de matemáticas universitarios (casi todos ellos egresados de la licenciatura en matemáticas, algunos con maestría y algunos con doctorado en matemáticas) incluso algunos de ellos con más de treinta años de experiencia, si conocían esta identidad trigonométrica, y hasta ahora ninguno de ellos la conocía. Así que he decidido llamar a esta identidad «la identidad trigonométrica poco conocida».

La justificación de esta identidad es muy sencilla. Empezamos con la identidad trigonométrica pitagórica:

    \begin{equation*} 	\sin^2 u + \cos^2 u = 1 \end{equation*}

Ahora expresamos cada función trigonométrica con la identidad recíproca correspondiente:

    \begin{equation*} 	\sin^2 u + \cos^2 u = \frac{1}{\csc^2 u} + \frac{1}{\sec^2 u} = 1 \end{equation*}

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Haciendo la suma de las fracciones se obtiene:

    \begin{equation*} 	\frac{1}{\csc^2 u} + \frac{1}{\sec^2 u} = \frac{\sec^2 u + \csc^2 u}{\csc^2 u \cdot \sec^2 u} = 1 \end{equation*}

Evidentemente, para que la fracción sea 1, se requiere que el numerador sea igual al denominador, y con esto se justifica la identidad.

Con esta identidad se puede calcular fácilmente la siguiente Antiderivada:

    \begin{equation*} 	\int \csc^2 u \cdot \sec^2 u \cdot du \end{equation*}

Por la identidad antes justificada, se tiene que:

    \begin{equation*} 	\int \sec^2 u \cdot \csc^2 u \cdot du = \int \left(\sec^2 u + \csc^2 u\right) \cdot du  		= \tan u - \cot u + C \end{equation*}

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

Posdata: Algunos libros que te recomiendo si quieres practicar la solución de problemas de Cálculo.

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