La historia de las matemáticas en la enseñanza

La mayoría de los estudiantes recibe una versión escolarizada de las matemáticas que ha perjudicado la imagen de esta ciencia, a tal grado, que se sabe, muchos estudiantes se ven forzados a elegir una carrera que incluya los mínimos contenidos de matemáticas. En otras palabras: los profesores de matemáticas literalmente cambiamos la vida de mucha gente, pues nuestro trabajo orilla a muchos a no querer profundizar en las ciencias exactas.

El problema, considero, consiste en que muchos profesores no conocen la historia de las matemáticas. En general, podemos afirmar que la enseñanza tradicional de las matemáticas ignora la historia de las ciencias exactas. No se preocupa por cómo se crea un concepto o una idea matemática. Únicamente se enfoca en que los estudiantes mecanicen ciertos procedimientos algebraicos, al parecer, como una estrategia que permite reducir el número de estudiantes que reprueben la materia.

A causa de esto, cuando se les presenta una propuesta para la enseñanza de un concepto matemático con un acercamiento distinto a lo que él ha leído de un libro, o aprendido de otro profesor, con frecuencia muestra aversión a mostrar el concepto de esta innovadora manera.

Por ejemplo, la derivada, creada de manera independiente por Leibniz, Newton, Fermat y algunos otros, cuando se utilizó en época de estos matemáticos, no existía el concepto de función (matemática), ni tampoco la idea de Límite. Leibniz pensó en la derivada como una razón de cambio, así como la pendiente de una recta. La diferencia, consistía para Leibniz en que en lugar de dar incrementos finitos (correspondiente a la variable al igual que c para la variable ), consideraba incrementos infinitamente pequeños ( y , respectivamente.)

   

Observe, que en la expresión anterior estoy utilizando la idea de función, porque ya la conozco. Leibniz no tenía una definición de función, ni de límite. Pero eso no le impedía utilizar la idea de derivada para resolver problemas. El profesor que conoce cómo se creó esta idea, tiene a su disposición mayor cantidad de recursos para explicar el concepto de derivada a sus estudiantes.

Por ejemplo, por lo que he visto en mis cursos, estoy convencido de que es más fácil para un estudiante entender la idea de derivada si se le explica con la analogía de la pendiente de una recta. Cuando el estudiante piensa como un cociente de diferenciales ( entre ) y lo entiende como un número (denotado por ),

   

es más fácil que logre entender la definición escolar de la derivada:

   

Y la razones son varias. En primer lugar, se parte de algo que el estudiante ya sabe, se toma una idea previa para adecuarla a la necesidad actual. Los investigadores en el área de matemática educativa han reportado que la definición de derivada con base en el concepto de límite dificulta la comprensión de este concepto por parte de los estudiantes debido a que hay varias cosas que están variando: tiende a cero, consecuentemente es variable, la diferencia también está cambiando, al igual que el cociente y esto significa que la derivada es un valor al cual me aproximo, pero nunca llego (porque nunca se hace cero). Esto requiere del procesamiento simultáneo de varias cantidades variables que pueden ser un obstáculo para la comprensión.

Si se le explica al estudiante, por ejemplo, que Leibniz pensó que necesitaba la razón de cambio de una cantidad variable (la función) en un punto, observó que lo que hoy llamamos función, , cambia para cada valor . Por lo tanto, si consideramos una función cuya derivada no sea constante, tenemos que la razón de cambio de la función en cada punto también cambia. Leibniz entonces concluyó que necesitaba dar un incremento tan pero tan pequeño, que la razón de cambio se mantuviera constante. Por eso, razonó, se requiere de un incremento infinitamente pequeño, al cual decidió denotar por .

Cuando se fija el incremento y se piensa como muy pequeño, en lugar de pensar que tiende a cero, se evita la variabilidad de las cantidades antes mencionadas. Ahora todo es fijo: , , al igual que la diferencia y la razón de cambio . Esto reduce la complejidad de los razonamientos que el estudiante tiene que elaborar para entender la idea de la derivada.

Ayuda mucho a la comprensión mostrar la idea en sus facetas numérica, algebraica, geométrica, con analogías, etc. Mostrar ejemplos de aplicaciones cotidianas para el estudiante, o interesantes de la industria, de la tecnología, de la medicina, ecología, etc.

Una vez que el estudiante entiende qué es la derivada, entonces se puede formalizar con límites. Pero usar primero límites no ayuda al estudiante, sino al contrario. Al menos eso es lo que dicen los reportes de investigación en este tema.

Los profesores de matemáticas necesitamos entender primero una idea para poder después explicarla. El conocimiento del origen histórico de cada concepto, con frecuencia ayuda a facilitar el camino hacia la comprensión de esa idea.

Yo no estoy en contra de la formalización de las ideas matemáticas. Lo que creo es que enseñar las matemáticas tal y como aparecen en los libros, no es la manera que atraerá a más estudiantes a las matemáticas, sino todo lo contrario. Si los estudiantes entienden qué es lo que están haciendo y por qué se hace así, por qué se necesita de esa idea (qué problemas nos ayuda a resolver), por qué es necesario hacerlo, qué casos ya conocidos se obtienen como caso particular de esta idea, etc., es más fácil que vean la belleza de las matemáticas, comparado a resolver ejercicios de manera mecánica sin entender qué están haciendo, por qué se debe hacer así, por qué es importante, etc.

Un libro de historia de las matemáticas que sugiero para profesores que quieren mejorar el entendimiento de los conceptos en sus estudiantes, es el escrito por Carl B Boyer: Historia de las matemáticas. Considero que este libro puede ayudarle a entender mejor las ideas y utilizar la historia de las matemáticas para convencer a sus estudiantes de que las matemáticas son una creación humana cuya intención se enfoca en la resolución de problemas.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

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P.D.: Otros libros que me parecieron interesantes (además del de Carl B. Boyer), y podrían ser de interés de profesores de matemáticas.

• Historia de las matemáticas. (Vol. 1) escrito por Jean-Paul Collette.
• Historia de las matemáticas. (Vol. 2) escrito por Jean-Paul Collette.
• El pensamiento matematico desde la Antiguedad a nuestros dias (Vol. 1) escrito por Morris Kline.
• El pensamiento matematico desde la Antiguedad a nuestros dias (Vol. 2) escrito por Morris Kline.

Hay muchos otros libros muy buenos, pero la mayoría que conozco se han publicado en Inglés. Solamente comparto aquí los que se ofertan en Español, porque la mayoría de mis lectores son de habla hispana.

Otras lecturas relacionadas con lo que mencioné en esta entrada.

• Soto y Alanís (2012). Antecedentes y surgimiento de la Integral acorde a Leibniz.
  En este artículo se muestra una forma de utilizar la historia de las matemáticas para mejorar la comprensión de los estudiantes del concepto de Integral Definida de funciones de una variable.
• Paul Lockhart. El lamento de un matemático.
  En este ensayo, Lockhart hace una dura crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas puntualizando algunas de sus consecuencias.
• Scheja, M. y Petterson, K. (2010). Transformation and contextualisation: Conceptualising students’ conceptual understanding of threshold concepts in Calculus. Higher Education, 59(2), 221-241.
  En este artículo se indican las dificultades que enfrentan los estudiantes al intentar entender el concepto de derivada cuando se enseña con base en la definición de límite.