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La derivada del cuadrado de una función

Se explica una forma alternativa de justificar la derivada del cuadrado de una función.

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En la mayoría de los libros se justifica la derivada de la función y = v^n, y a partir de la fórmula, se puede fácilmente deducir que la derivada del cuadrado de una función haciendo n = 2 y aplicando la regla. En esta ocasión te comparto una forma alternativa.

Queremos calcular la derivada del cuadrado de una función y = f(x) continua y diferenciable. Es decir, por la definición de derivada, queremos calcular:

    \begin{equation*} \frac{d([f(x)]^2)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x)]^2 - [f(x)]^2}{\Delta x}\right] \end{equation*}

Observa que en el numerador de la fracción de la cual queremos calcular el límite tenemos una diferencia de cuadrados, la cual podemos factorizar como un producto conjugado, como se indica a continuación:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x)]^2 - [f(x)]^2}{\Delta x}\right]    = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x) + f(x)][f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x}\right] \end{equation*}

Bajo ciertos supuestos, los limites tienen una propiedad que dice que el límite de un producto de dos funciones es igual al producto de los límites de esas funciones. Suponiendo que dichos supuestos se cumplen, apliquemos esa propiedad, para obtener:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d([f(x)]^2)}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x)]^2 - [f(x)]^2}{\Delta x}\right]\\    &=& \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x) + f(x)][f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x}\right]\\    &=& \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} [f(x + \Delta x) + f(x)] \cdot \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x}\right] \end{eqnarray*}

Observa que cuando \Delta x tiende a cero, f(x + \Delta x) tiende a f(x), por lo que el límite del primer factor es 2\,f(x). El límite del segundo factor es precisamente la definición de la derivada de f(x). Por lo tanto,

    \begin{equation*}    \frac{d([f(x)]^2)}{dx} = 2\,f(x)\cdot f'(x) \end{equation*}

Es muy fácil, ¿verdad?
¿Puedes explicárselo a alguien más?

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