La derivada del cuadrado de una función

En la mayoría de los libros se justifica la derivada de la función $y = v^n$ , y a partir de la fórmula, se puede fácilmente deducir que la derivada del cuadrado de una función haciendo $n = 2$ y aplicando la regla. En esta ocasión te comparto una forma alternativa.

Queremos calcular la derivada del cuadrado de una función $y = f(x)$ continua y diferenciable. Es decir, por la definición de derivada, queremos calcular:

$\begin{equation*} \frac{d([f(x)]^2)}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x)]^2 - [f(x)]^2}{\Delta x}\right] \end{equation*}$

Observa que en el numerador de la fracción de la cual queremos calcular el límite tenemos una diferencia de cuadrados, la cual podemos factorizar como un producto conjugado, como se indica a continuación:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x)]^2 - [f(x)]^2}{\Delta x}\right] = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x) + f(x)][f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x}\right] \end{equation*}$

Bajo ciertos supuestos, los limites tienen una propiedad que dice que el límite de un producto de dos funciones es igual al producto de los límites de esas funciones. Suponiendo que dichos supuestos se cumplen, apliquemos esa propiedad, para obtener:

$\begin{eqnarray*} \frac{d([f(x)]^2)}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x)]^2 - [f(x)]^2}{\Delta x}\right]\\ &=& \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x) + f(x)][f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x}\right]\\ &=& \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} [f(x + \Delta x) + f(x)] \cdot \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{[f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x}\right] \end{eqnarray*}$

Observa que cuando $\Delta x$

tiende a cero, $f(x + \Delta x)$

tiende a $f(x)$

, por lo que el límite del primer factor es $2\,f(x)$

. El límite del segundo factor es precisamente la definición de la derivada de $f(x)$

. Por lo tanto,

$\begin{equation*} \frac{d([f(x)]^2)}{dx} = 2\,f(x)\cdot f'(x) \end{equation*}$

Es muy fácil, ¿verdad?
¿Puedes explicárselo a alguien más?

febrero 16, 2019

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Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de 4 libros de matemáticas de la escuela secundaria (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática. El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Él ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en nivel superior (nivel universitario). En este último caso, para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y honors, en español al igual que en inglés.

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La derivada del cuadrado de una función

Se explica una forma alternativa de justificar la derivada del cuadrado de una función.

Efraín Soto Apolinar

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