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¿Por qué funciona la fórmula general?

La mayoría de los estudiantes de secundaria aprende la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, pero muchas veces sin saber por qué funciona. Aquí se justifica eso.

Prestamos fáciles y rápidos

¿Sabes por qué funciona la formula general

    \begin{equation*} 	x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

para resolver ecuaciones de segundo grado? (es decir las que tienen la forma: a\,x^2 + b\,x + c = 0)

Básicamente, si ya estudiaste los demás métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, entonces ya estás listo para entender cómo se justifica esta fórmula: aplica el método de completar cuadrados.

Para resolver la ecuación a\,x^2 + b\,x + c = 0, primero debemos reescribir la ecuación como sigue:

    \begin{eqnarray*} 	a\,x^2 + b\,x + c &=& 0 	\qquad\Rightarrow\\ 	\frac{a\,x^2}{a} + \frac{b\,x}{a} + \frac{c}{a} &=& \frac{0}{a}	\qquad\Rightarrow\\ 	x^2 + \frac{b\,x}{a} + \frac{c}{a} &=& 0 \end{eqnarray*}

Desde luego, dado que la ecuación es cuadrática, necesariamente a \neq 0. Por eso no hay problema al dividir entre a cada uno de los términos de la ecuación cuadrática.

Ahora vamos a sumar en ambos lados de la igualdad la cantidad - c/a, para obtener:

    \begin{equation*} 	x^2 + \frac{b\,x}{a}  = - \frac{c}{a} \end{equation*}

Estamos listos para completar el cuadrado. Para ello sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal en ambos lados de la igualdad, como se indica a continuación:

    \begin{equation*} 	x^2 + \frac{b\,x}{a} + \left(\frac{b}{2\,a}\right)^2 = - \frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2\,a}\right)^2 \end{equation*}

Y ya podemos expresar el lado izquierdo como un binomio al cuadrado, como sigue:

    \begin{equation*} 	\left(x + \frac{b}{2\,a}\right)^2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4\,a^2} \end{equation*}

Ahora vamos a escribir las fracciones de la izquierda con un denominador común. Con este fin, multiplicamos en la primera fracción por 4\,a tanto en el numerador como en el denominador:

    \begin{equation*} 	\left(x + \frac{b}{2\,a}\right)^2 = - \frac{4\,ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4\,a^2} = \frac{b^2 - 4\,ac}{4\,a^2} \end{equation*}

El siguiente paso consiste en calcular la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. Así obtenemos:

    \begin{equation*} 	x + \frac{b}{2\,a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4\,ac}{4\,a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

Ahora sumamos en ambos lados de la igualdad la fracción - b / (2\,a) y simplificamos para terminar:

    \begin{equation*} 	x = -\frac{b}{2\,a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a} \end{equation*}

Y así es como se justifica la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Y es por ello que funciona: es algebraicamente equivalente a la ecuación con la que iniciamos todo el procedimiento. Esto es, si un valor x satisface a la ecuación: a\,x^2 + b\,x + c = 0, entonces satisface también a la fórmula general y viceversa.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

Posdata: Es importante que entiendas que a \neq 0 porque si ocurre que a = 0, entonces no podremos dividir entre 2\,a. En este caso, la ecuación no será cuadrática, sino lineal (pues a = 0 y la ecuación se reduce a b\,x + c = 0). En palabras, la fórmula general funciona para los casos en que a \neq 0.

1 responses on "¿Por qué funciona la fórmula general?"

  1. gracias, excelente explicacion

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