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Si encuentras el error puedes ganar un pase de cortesía para el curso titulado: "Áreas y volúmenes". Revisa las reglas del concurso al final de esta entrada.

El Último Teorema de Fermat

Efraín Soto Apolinar
efrain@aprendematematicas.org.mx
14 de octubre de 2014
(entonces era estudiante del Doctorado en Innovación Educativa
en la Universidad Virtual del Tecnológico de Monterrey)
Observación: cuando publiqué por primera vez esta entrada indiqué incorrectamente el año en que consideré terminada esta «demostración». Decía (incorrectamente) 2015 y debía decir 2014. Se ha hecho esta corrección.

Introducción

El último teorema de Fermat es uno de los problemas que ha atraído la atención de cientos de matemáticos desde que se enunció. Este problema fue considerado por el Libro Guinness de los récords mundiales como el problema más difícil de todas las matemáticas. Su demostración por parte de Sir Andrew Wiles, en el año de 1994, ha dado un final feliz a un capítulo más de la historia de las matemáticas.
En este trabajo se muestran argumentos con elementos matemáticos conocidos en la época de Fermat que parecen demostrarlo.
El último teorema de Fermat es el que se enuncia enseguida.

Teorema 1

Sean n,a,b,c \in \mathbb{Z}, con n > 2. La ecuación:

    \begin{equation*} 	a^n + b^n = c^n 	\label{Eq:Fermat} \end{equation*}

no tiene soluciones enteras (a,b,c) con a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0.


Consideraciones previas

Para demostrar el último teorema de Fermat se puede considerar que n es un número primo mayor a 2. Esto es así porque si n no es primo, se puede descomponer como producto de números primos (por el teorema fundamental de la aritmética).

Sea n = p\cdot q, por ejemplo, con p primo. La ecuación del último teorema de Fermat se puede escribir como:

    \begin{equation*} 	c^n = a^n + b^n	\qquad\Rightarrow\qquad \left(c^{q}\right)^p = \left(a^{q}\right)^p + \left(b^{q}\right)^p \end{equation*}

En palabras, si n es compuesto, podemos transformar el problema a uno equivalente en el cual el exponente sea primo. Y dado que n > 2, el exponente que consideraremos siempre será impar.

Esto excluye n = 4 porque la descomposición en factores primos de 4 no tiene números primos impares. Sin embargo, el caso n = 4 ya ha sido demostrado por diferentes matemáticos. Paulo Ribenboim [1] menciona a Frenicle de Bessy (1676), Euler (1738), Kausler, Barlow (1796), Legendre (1823, 1839), Schopis (1825), Terquem (1846), Bertrand (1851), Lebesgue (1853, 1859, 1862), Pepin (1883), Tefalmacher (1893), Bendz (1901), Gambioli (1901), Kroenecker (1901), Bang (1905), Bottari (1908), Rychlik (1910), Nutzhorn (1912), Carmichael (1913), Vranceanu (1966).

De manera semejante, enlista a quienes ya lo demostraron para el caso n = 3: Kausler (1795), Legebdre (1823, 1830), Calzolari (1855), Lamé (1865), Tait (1872), Günter (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlik (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), van der Corput (1915), Thue (1917) y Duarte (1944).

Por otra parte, en este problema pueden considerarse valores de a, b, c positivos. Si alguno de esos valores es negativo, entonces su enésima potencia lo será también, pues n es un primo mayor a 2, y por lo tanto, impar.

Si alguno de los números a,b,c es negativo, basta sumar en ambos lados de la igualdad a^n + b^n = c^n el negativo de la enésima potencia de dicho número negativo, para convertir el problema a otro equivalente con valores a, b, c positivos.

Evidentemente, no es posible que los tres términos a^n, b^n y c^n estén del mismo lado de la igualdad teniendo los tres el mismo signo, porque es imposible sumar tres numeros positivos o tres números negativos y obtener cero como resultado.

Observe también que si a y b tienen un factor común, digamos a = ru, b = rv, donde u y v son primos relativos, entonces:

    \begin{eqnarray*} 	c^n &=& a^n + b^n\\ 	&=& r^n u^n + r^n v^n\\ 	&=& r^n\left(u^n + v^n\right) \end{eqnarray*}

De donde c^n es un múltiplo de r^n. Por tanto, c también es múltiplo de r. Luego, podemos escribir: c = r w. Al dividir ambos lados de la ecuación entre r^n, obtenemos una ecuación equivalente con los tres términos primos relativos entre sí.

Finalmente, observe que a > 1 al igual que b > 1. Y esto es así, porque la diferencia de dos enésimas potencias exactas (perfectas) no puede ser 1.

Para la demostración del último teorema de Fermat, se requiere de los siguientes tres lemas.

Lema 1

Sean n,a,b,c\in\mathbb{Z}, tales que a^n + b^n = c^n, con a,b,c positivos y siendo n un número primo mayor a 2. Entonces, a + b > c.


Demostración

La veracidad de este lema se hace evidente al considerar el binomio de Newton:

    \begin{eqnarray*} 	\left[a + b\right]^n &=& \sum\limits_{i=0}^{n}{\left(\!\!\begin{array}{c}n\\i\end{array} \!\!\right)\,a^{n-i}b^{i}} \\ 	&=& a^n + b^n + \sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left(\!\!\begin{array}{c}n\\i\end{array} \!\!\right)\,a^{n-i}b^{i}} \\ 	&=& c^n + \sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left(\!\!\begin{array}{c}n\\i\end{array} \!\!\right)\,a^{n-i}b^{i}}\\ 	&>& c^n \end{eqnarray*}

Dado que a,b son positivos y n > 2, la suma de los términos incluidos en la sumatoria del penúltimo renglón del previo arreglo de ecuaciones es mayor a cero. Sacando raíz enésima en el miembro izquierdo de la igualdad del primer renglón y el lado derecho del último renglón del previo arreglo de ecuaciones, por la transitividad de la desigualdad, se tiene que a + b > c, que es lo que se quería demostrar.


Además, dado que a,b,c son positivos y satisfacen a^n + b^n = c^n, se sigue que a < c, al igual que b < c.

Lema 2

Sean n,a,b,c\in\mathbb{Z}, tales que a^n + b^n = c^n, con a,b,c positivos y siendo n un número primo mayor a 2. Entonces, a + b < 2\,c.


Demostración

Dado que a, b, c son números enteros positivos que satisfacen a^n + b^n = c^n para n > 2, siendo n un número primo, es obvio que c > a, al igual que c > b. Por lo tanto, 2\,c > a + b, que es equivalente a decir que a + b < 2\,c.


Lema 3

Sean n,a,b,c\in\mathbb{Z}, tales que a^n + b^n = c^n, con a,b,c positivos y siendo n un número primo mayor a 2. Entonces, existe un único número entero positivo k que satisface: a + b - c = k\,n.


Demostración

Por el pequeño teorema de Fermat, a^n \equiv a \mod n, b^n \equiv b \mod n y c^n \equiv c \mod n. Entonces, a + b \equiv c \mod n. En palabras esto indica que a + b - c es un múltiplo de n.
Considere a + b - c = k\,n para algún k\in\mathbb{Z}. Por el lema 1, a + b > c, por lo que a + b - c > 0, implica que a + b - c = k\,n >0. Esto significa que k > 0, pues n > 2.
Además, k es par, pues al ser a, b, c primos relativos entre sí, se requiere que exactamente uno de ellos sea par y los otros dos sean impares para que satisfagan a^n + b^n = c^n. Por la cerradura de pares, para que se cumpla a + b = c + k\,n se necesita que k sea par (n > 2 no puede serlo porque es primo).


Prueba del último teorema de Fermat

Demostración

Supongamos que a, b, c son números enteros positivos, y primos relativos entre sí, tales que a^n + b^n = c^n donde n es un número primo mayor a 2. Supongamos también que a < b < c. Por la simetría de a y b en la ecuación a^{n} + b^{n} = c^{n}, no perdemos generalidad al hacer esta suposición.

Por el lema 3 se puede escribir: a + b - c = k\,n, donde k \in \mathbb{N}.

Elevando a la enésima potencia ambos lados de la igualdad previa se tiene:

    \begin{eqnarray*} 	(k\,n)^{n} &=& (\left[a + b\right] - c)^{n}\\ 	&=& \sum\limits_{i = 0}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- c)^{i}\\ 	&=& \left[a + b\right]^n + \sum\limits_{i = 1}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- c)^{i}\\ 	&=& \sum\limits_{i = 0}^{n}{n \choose i}a^{n - i}b^{i} + \sum\limits_{i = 1}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- c)^{i}\\ 	(k\,n)^{n}&=& a^n + b^n + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}a^{n - i}b^{i}  		+ \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\left[{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- c)^{i}\right] - c^{n}  \end{eqnarray*}

Pero a^n + b^n = c^n, por lo que, a^n + b^n - c^n = 0. Eliminando estos términos de la última igualdad, se obtiene:

(1)   \begin{equation*} 	(k\,n)^{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}a^{n - i}b^{i} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- c)^{i} \end{equation*}

Esta Ecuación (1) será utilizada más adelante.

Por otra parte, la expresión a + b - c = k\,n se puede reescribir como: c = a + b - k\,n. Elevando a la enésima potencia ambos lados de esta igualdad se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	c^{n} &=& (\left[a + b\right] - k\,n)^{n}\\ 	&=& \sum\limits_{i = 0}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i}\\ 	&=& \left[a + b\right]^n + \sum\limits_{i = 1}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i}\\ 	&=& \sum\limits_{i = 0}^{n}{n \choose i}a^{n - i}b^{i} + \sum\limits_{i = 1}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i}\\ 	c^{n}&=& a^n + b^n + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}a^{n - i}b^{i}  		+ \sum\limits_{i = 1}^{n}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i}  \end{eqnarray*}

De nuevo, aplicando el hecho de que c^{n} = a^n + b^n, la igualdad previa se reduce a:

(2)   \begin{eqnarray*} 	0&=& \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}a^{n - i}b^{i}  		+ \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\left[{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i}\right] - (k\,n)^{n} \nonumber\\ 	(k\,n)^n &=& \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}a^{n - i}b^{i} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i} \end{eqnarray*}

Esta última igualdad es a lo que nos referiremos como la Ecuación (2).

Igualando las dos expresiones resultantes equivalentes a (k\,n)^{n}, específicamente las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

    \begin{equation*} 	\sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- c)^{i} 	=\sum\limits_{i = 1}^{n - 1}{n \choose i}\left[a + b\right]^{n - i}(- k\,n)^{i} \end{equation*}

Evidentemente, para que la igualdad previa se cumpla, necesariamente c = k\,n. Con base en esto y considerando que, a + b = c + k\,n se tiene que a + b = 2\,c.

Pero por el lema 2, si los números a, b y c satisfacen la ecuación a^n + b^n = c^n siendo n un número primo mayor a 2, entonces, a + b < 2\,c.

Esta contradicción demuestra el último teorema de Fermat.


Otro argumento

Dado que a y b son simétricos en la ecuación a^n + b^n = c^n, no se pierde generalidad al suponer b > a. También, puesto que a, b, c son números enteros positivos, es claro que c > b al igual que c > a (esto es, sin perder generalidad podemos suponer que c > b > a.)

En el lema 3 se justifica que si a, b, c satisfacen a^n + b^n = c^n, entonces se cumple: a + b = c + k\,n para algún entero par k > 0. Por lo que

    \begin{equation*} 	a - k\,n = c - b > 0 \qquad\Rightarrow\qquad 	a - k\,n > 0 \qquad\Rightarrow\qquad 	a > k\,n \end{equation*}

Por lo tanto, contrario a lo que ya se mostró anteriormente, es imposible tener c = k\,n (porque c > b > a > k\,n).


Referencias

  • Ribenboim, P. (2000) Fermat’s Last Theorem for Amateurs. EE.UU.: Springer.

La recompensa

Si encuentras alguno de los errores matemáticos en esta «demostración» puedes ganar un acceso gratuito a mi curso titulado «Áreas y Volúmenes» que próximamente lanzaré en mi portal de cursos con costo.

Reglas del concurso:

  1. La participación en este concurso es voluntaria y no tiene costo alguno. Todo participante debe apegarse a estas reglas.
  2. Únicamente habrá un ganador del pase de cortesía (gratuito) al curso titulado Áreas y Volúmenes.
  3. El pase de cortesía es único, personal e intransferible (únicamente lo podrá utilizar el ganador).
  4. El ganador será aquella persona que agregue un comentario en esta entrada indicando correctamente dónde está el error matemático en «la demostración» y en qué consiste dicho error.
  5. Antes de agregar un comentario, debes crear una cuenta de usuario en nuestra plataforma (de esta manera podremos tener acceso a tu cuenta de correo electrónico para enviarte información sobre la fecha de inicio del curso y el pase de cortesía y así nadie más podrá reclamar el premio por ti)
  6. En caso de que dos o más personas envíen comentarios indicando correctamente un error en la demostración y en qué consiste éste, se decidirá a quién se otorga el pase gratuito al curso referido con base en el orden que el servidor muestre los comentarios cuando se ordenan de acuerdo a la hora en que cada comentario se registró. El primero que lo haya enviado de acuerdo al servidor, será el único ganador.
  7. El premio no se puede canjear por dinero en efectivo ni por algún otro producto/servicio equivalente.
  8. La fecha límite para agregar comentarios es el día jueves 28 de febrero de 2019 a las 11:59:00 PM. Cualquier comentario agregado después de esta fecha no se tomará en cuenta para la asignación del premio de este concurso.
  9. La fecha en que se dará a conocer el ganador será el día: viernes 01 de marzo de 2019. En caso de que no se registren comentarios donde efectivamente se indique (de manera correcta) dónde está un error y en qué consiste éste, se considerará el concurso desierto, por lo que nadie tendrá derecho a reclamar el premio.
  10. Cualquier cuestión imprevista que pudiera surgir se turnará al equipo de Aprende Matemáticas para su resolución, la cual será inapelable.

2 responses on "Encuentra el error"

  1. El error está en la parte que dice “evidentemente para que la igualdad previa se cumpla, necesariamente c=kn”.
    Esto es falso, para notarlo basta con fijar a,b en ecuación 1 (o análogamente en la 2) y notar que al resolver la ecuación (de grado n-1, que será mayor o igual a 2) para la variable c pueden existir hasta n-1 soluciones a la ecuación y por lo tanto lo único que sabemos es que c es solución y kn es solución, esto no concluye que c=kn.
    Dicho de otra forma kn y c no necesariamente son raíces pero no necesariamente la misma raíz.

  2. El error está en la parte que dice “evidentemente para que la igualdad previa se cumpla, necesariamente c=kn”.
    Esto es falso, para notarlo basta con fijar a,b en ecuación 1 (o análogamente en la 2) y notar que al resolver la ecuación (de grado n-1, que será mayor o igual a 2) para la variable c pueden existir hasta n-1 soluciones a la ecuación y por lo tanto lo único que sabemos es que c es solución y kn es solución, esto no concluye que c=kn.
    Dicho de otra forma kn y c son raíces pero no necesariamente la misma raíz.

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