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El mínimo común múltiplo

Una persona solicitó apoyo con la resolución de un problema en nuestro grupo en facebook. El problema se puede resolver de varias maneras: ensayo – error, utilizando el concepto de mínimo común múltiplo o ecuaciones lineales.
Dependiendo del nivel académico en que te encuentres podría ser una opción mejor que otra para el fin de aprendizaje que tu maestro persiga (dependiendo de tu nivel de entendimiento y de abstracción de las ideas matemáticas).

El problema

Una pileta A llena un abastecimiento en 2 horas. La pileta B llena el mismo en 3 horas. La pileta C llena el mismo en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el abastecimiento con las tres piletas juntas?

Método 1

Aplicando la idea del mínimo común múltiplo, debemos pensar en la cantidad de abastecimientos del mismo tamaño que llenarían todas las piletas llenando simultáneamente en 12 horas.
Se ha elegido el número 12 porque es el mínimo común múltiplo de los horas que tardan las piletas en llenar el abastecimiento. De alguna manera, saber ese número nos va a dar un número entero de abastecimientos que llenó cada pileta. Por ello es conveniente considerar ese número.

PiletaAbastecimientos (en 12 horas)
A6
B4
C3
Total13

Es decir, en 12 horas las tres piletas llenan 13 abastecimientos. Por lo tanto, en llenar solamente uno, se requiere la treceava parte de tiempo. Esto es, las tres piletas llenan el abastecimiento en 12 / 13 de hora.

Método 2

Para este método utilizamos una ecuación lineal.
Sea x el número de horas que se requieren para que las tres piletas llenando simultáneamente el abastecimiento, éste se llene. Lo que se requiere es calcular el valor de x.
La fracción que aporta la primera pileta (A) es: x / 2, mientras que la segunda pileta (B) aporta x / 3, y la tercera (C) aporta x / 4. Juntas, aportan:

    \begin{equation*} 	\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} \end{equation*}

Dado que se quiere llenar únicamente una vez el abastecimiento, igualando a 1 la expresión anterior y resolviendo para x, se tiene el valor buscado:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} &=& 1		\\ 	\frac{6\,x}{12} + \frac{4\,x}{12} + \frac{3\,x}{12} &=& 1 \end{eqnarray*}

Multiplicando por 12 ambos lados de la igualdad, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	6\,x + 4\,x + 3\,x &=& 12		\\ 	13\,x &=& 12		\\ 	x &=& \frac{12}{13} \end{eqnarray*}

Es decir, se requieren de 12/13 de una hora para poder llenar el abastecimiento.

Conversión a minutos

Para poder saber la cantidad de minutos que se requieren, basta utilizar la proporción:

    \begin{equation*}	 	\frac{x}{60} = \frac{12}{13} \qquad\Rightarrow\qquad 	x = \frac{(12)(60)}{13} = \frac{720}{13} \approx 55.38461538 \end{equation*}

Esto es, 55 minutos, 23.0769 segundos.

Es muy fácil, ¿verdad?
¿Puedes explicárselo a alguien más?

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