Presentación

Este es un curso de cálculo con infinitesimales. En él se presentan las ideas del cálculo tal y como las manejaron sus creadores (Galileo, Kepler, Barrow, Wallis, Fermat, Newton, Leibniz, Bernoulli, etc.) Este curso está basado en la obra que lleva el mismo título, escrito por el mismo autor.

¿Por qué este curso no se enseña de la forma tradicional?

Tradicionalmente, el cálculo se ha enseñado con límites en lugar de infinitesimales. Esto se debe a que los matemáticos son demasiado estrictos con el rigor matemático. Afortunadamente (quizás desafortunadamente) aunque enseño matemáticas no soy matemático.

Como profesor, mi objetivo principal es que mis alumnos y lectores entiendan las ideas, conceptos y métodos aplicados en la solución de problemas, así como la justificación de los métodos aplicados.

Esa es la razón por la cual este texto se enfoca en la comprensión del significado de la derivada, el diferencial, la antiderivada (conocida en cálculo tradicional como la integral indefinida), la integral (definida) y sus aplicaciones.

Para lograr este objetivo, se tuvieron que tomar algunas decisiones. Primero, la investigación en educación matemática ha concluido que el proceso límite no es un enfoque conveniente para alcanzar nuestra meta (Keisler, 2001).

Según los informes, los estudiantes pueden calcular límites, derivadas y antiderivadas de funciones, pero cuando se trata de un problema que requiere comprensión, los estudiantes no pueden hacer mucho (Alanís y Soto, 2012).

El enfoque Infinitesimal

Los infinitesimales son un enfoque conveniente porque esta idea matemática es un instrumento más manejable (en comparación con el proceso de límite), ya que puede relacionarse con pequeños números reales (aunque esta representación no es exactamente correcta). Freudenthal (1972) y Bell (2006) coinciden en afirmar que los ingenieros y los físicos han usado infinitesimales desde su invención porque los modelos matemáticos se obtienen fácilmente con esta herramienta.

Del mismo modo, Todorov (2001) menciona que

«es casi un secreto público, sin embargo, que la mayoría de los matemáticos piensan e investigan en términos de infinitesimales y usen la definición de límites con solo para presentar la versión final de su trabajo en una forma socialmente aceptable.»

Freudenthal (1972) afirma que «es una situación imposible que el matemático enseñe una matemática que no se puede aplicar y el físico aplica una matemática que no ha sido enseñada por el matemático» (página 553), refiriéndose al hecho de que el uso de límites en ingeniería no es tan común como el uso de infinitesimales.

También afirma que «los cocientes diferenciales son los dispositivos más eficientes de análisis intuitivo» (página 559), y esta es la justificación del enfoque de este curso: el objetivo es allanar el camino hacia la comprensión de las ideas de cálculo.

En consecuencia, la derivada de una función se define con la misma idea de la pendiente de una línea recta, con la diferencia de que en lugar de utilizar incrementos finitos en las variables ( y ) para la pendiente, la derivada usa incrementos infinitamente pequeños ( y ).

Acorde con esta definición de derivada, la integral definida se concibe como una suma de una cantidad infinita de infinitesimales (también llamados diferenciales), al contrario de la mayoría de los libros tradicionales, donde la integral de Riemann se usa en su lugar cuando el cálculo se basa en límites.

Leibniz concibió los infinitesimales como «cantidades inconmesurables» a cantidades finitas como «granos de arena en relación con el mar» (Lozano, 2011). Consideró las curvas como líneas poligonales de infinita cantidad de lados, y las superficies como poliedros de infinitas caras, cada una de tamaño infinitamente pequeño (área plana).

En este curso, las ideas de la derivada de una función y la integral definida se basan en esta concepción leibniziana de los objetos geométricos, tal como se forman en el nivel «microscópico» de elementos rectos (líneas o planos). Este enfoque ha demostrado ser de ayuda para que los estudiantes comprendan las ideas de cálculo (derivadas, diferenciales, antiderivadas e integrales definidas) en la experiencia del autor (ver Soto y Alanis, 2014).

Necesidades de los usuarios del cálculo en la actualidad

En la actualidad, los ingenieros usan software para calcular el valor numérico de integrales definidas. La tarea de calcular la antiderivada se ha vuelto menos pertinente en los cursos y ahora el curso puede enfocarse bien en el proceso de modelado para deducir la integral definida que representa el valor exacto de la cantidad que debe calcularse.

El uso de diferenciales simplifica el proceso de modelado y los informes indican que el uso de infinitesimales en la enseñanza del cálculo mejora la comprensión de los alumnos (Freudenthal, 1972).

En su caso, se han proporcionado datos históricos para transmitir la idea de que las matemáticas son un esfuerzo humano que consiste en resolver problemas, es un lenguaje creado para comunicar cómo se resuelven los problemas mencionados anteriormente, para justificar sus métodos y generalizarlos a otros problemas y finalmente las matemáticas son una ciencia creada por medio de ideas utilizadas como objetos matemáticos que se entrelazan con el resto de la teoría para expandirla (Godino, Batanero y Font, 2007).

Tomando en consideración la sugerencia de Freudenthal (1972, página 575), «la continuidad o diferenciabilidad de una función continua o continuamente diferenciable se asume sin pruebas» para simplificar las explicaciones. Como se esperaba, las funciones seleccionadas están acordes con esta suposición, al menos en el dominio de la discusión de cada problema.

En síntesis

En resumen, si el lector es un matemático puro, quizás encuentre este enfoque interesante para la enseñanza del cálculo. La matemática que generalmente se encuentra en los libros no es la misma que se creó históricamente, sino su síntesis. El contenido de este curso es poco riguroso para un matemático puro, pero según la experiencia del autor, este es el mejor enfoque para quienes estudian esta rama de las matemáticas por primera vez. Con suerte (tal vez) los ingenieros y físicos estarán de acuerdo conmigo en este punto.

Si surge la necesidad, el usuario del cálculo buscará una justificación más rigurosa de los teoremas. Por el momento, mientras el alumno está aprendiendo, el objetivo es transmitir las ideas de la manera más eficiente posible. La necesidad actual es la comprensión de las ideas y su uso, el autor ha decidido dejar el rigor para una necesidad futura (probablemente el libro de Keisler titulado: «Cálculo elemental. Un enfoque infinitesimal» es una mejor referencia si el objetivo del maestro es transmitir rigor en su curso de cálculo, ya que según su autor, «se basa en el trabajo de Abraham Robinson, quien en 1960 encontró una forma de hacer que los infinitesimales sean rigurosos» acorde con lo que afirma en el prefacio, página iv.)

Sin embargo, es importante mencionar que, para estar de acuerdo con la mayoría de los programas de estudio de los cursos de cálculo en colegios y universidades, se sigue la notación actual, junto con el orden tradicional de los temas.

Espero que este curso sirva como un manual de las ideas del cálculo infinitesimal de acuerdo a cómo sus reglas fueron justificadas por sus creadores. Con suerte, con este enfoque, aunque no estrictamente riguroso según las matemáticas modernas, aquellos estudiantes que primero se acerquen a las ideas del cálculo infinitesimal encontrarán en este curso una guía útil para la comprensión de los infinitesimales, la derivada, el diferencial, la integral definida, la antiderivada y sus aplicaciones.

Efraín Soto Apolinar.
Monterrey, Nuevo León. México. 2020.

Si deseas, puedes adquirir el libro correspondiente a este curso a través de Google Books.