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Artificio para completar el diferencial

Otro artificio matemático que permite calcular una Antiderivada.

Les comparto un ejercicio muy bonito que me encontré y creo que es muy instructivo.

Se desea calcular:

    \begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx \end{equation*}

El problema consiste en que si se define v = \sqrt{x}, se tiene que

    \begin{equation*} dv = \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} \end{equation*}

por lo que no se encuentra el diferencial en la expresión que se desea Integrar. El artificio que nos ayuda a resolver la cuestión consiste en multiplicar tanto en el numerador como en el denominador por 2\,\sqrt{x}, para obtener:

    \begin{equation*} 2\,\int \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}

Para aplicar la técnica de Integración por partes, definamos:

    \begin{eqnarray*} u = \sqrt{x}	&\Rightarrow &	du = \frac{dx}{2\,\sqrt{x}}	\\ dv = \frac{\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx	&\Rightarrow & 	v = \sin\left(\sqrt{x}\right) \end{eqnarray*}

Y aplicando estas definiciones en la fórmula correspondiente a la técnica de Integración por partes, obtenemos:

    \begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx = 2\,\int \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) - 2\,\int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}

La última Integral es inmediata, porque si definimos w = \sqrt{x}, entonces dw «está completo». Por lo tanto, aplicamos un simple cambio de variable para obtener esta última Integral:

    \begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) - 2\,\int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) + 2\,\cos\left(\sqrt{x}\right) + C \end{equation*}

Con esto terminamos.


Muy fácil, ¿verdad?


¿Puedes explicarselo a alguien más?

2 responses on "Artificio para completar el diferencial"

  1. por que en necesario tener la integral completa
    y porque para integrar algunas integrales no lo es

  2. Se tiene que completar el diferencial para poder aplicar la fórmula correspondiente de integración. Si aplicas la fórmula y el diferencial no está completo, entonces se está aplicando de manera incorrecta, pues la antiderivada obtenida, si la derivas, no va a resultar igual a la función que está en el integrando. Eso se puede verificar fácilmente con este ejemplo que explico en esta entrada. Si piensas que la antiderivada de coseno de la raíz cuadrada de x es seno de la raíz cuadrada de x, deriva esta última función mencionada y verás que no obtienes la función que antiderivaste (lo cual indica que no es la antiderivada buscada).
    Saludos.

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