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Artificio para completar el diferencial

Otro artificio matemático que permite calcular una Antiderivada.

Prestamos fáciles y rápidos

Les comparto un ejercicio muy bonito que me encontré y creo que es muy instructivo.

Se desea calcular:

    \begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx \end{equation*}

El problema consiste en que si se define v = \sqrt{x}, se tiene que

    \begin{equation*} dv = \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} \end{equation*}

por lo que no se encuentra el diferencial en la expresión que se desea Integrar. El artificio que nos ayuda a resolver la cuestión consiste en multiplicar tanto en el numerador como en el denominador por 2\,\sqrt{x}, para obtener:

    \begin{equation*} 2\,\int \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}

Para aplicar la técnica de Integración por partes, definamos:

    \begin{eqnarray*} u = \sqrt{x}	&\Rightarrow &	du = \frac{dx}{2\,\sqrt{x}}	\\ dv = \frac{\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx	&\Rightarrow & 	v = \sin\left(\sqrt{x}\right) \end{eqnarray*}

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Y aplicando estas definiciones en la fórmula correspondiente a la técnica de Integración por partes, obtenemos:

    \begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx = 2\,\int \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) - 2\,\int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}

La última Integral es inmediata, porque si definimos w = \sqrt{x}, entonces dw «está completo». Por lo tanto, aplicamos un simple cambio de variable para obtener esta última Integral:

    \begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) - 2\,\int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) + 2\,\cos\left(\sqrt{x}\right) + C \end{equation*}

Con esto terminamos.


Muy fácil, ¿verdad?


¿Puedes explicarselo a alguien más?

diciembre 16, 2018

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