Artificio para completar el diferencial

Les comparto un ejercicio muy bonito que me encontré y creo que es muy instructivo.

Se desea calcular:

$\begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx \end{equation*}$

El problema consiste en que si se define $v = \sqrt{x}$ , se tiene que

$\begin{equation*} dv = \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} \end{equation*}$

por lo que no se encuentra el diferencial en la expresión que se desea Integrar. El artificio que nos ayuda a resolver la cuestión consiste en multiplicar tanto en el numerador como en el denominador por $2\,\sqrt{x}$ , para obtener:

$\begin{equation*} 2\,\int \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}$

Para aplicar la técnica de Integración por partes, definamos:

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{x} &\Rightarrow & du = \frac{dx}{2\,\sqrt{x}} \\ dv = \frac{\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx &\Rightarrow & v = \sin\left(\sqrt{x}\right) \end{eqnarray*}$

Aprende Producción de Audio

Y aplicando estas definiciones en la fórmula correspondiente a la técnica de Integración por partes, obtenemos:

$\begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx = 2\,\int \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) - 2\,\int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx \end{equation*}$

La última Integral es inmediata, porque si definimos $w = \sqrt{x}$ , entonces $dw$ «está completo». Por lo tanto, aplicamos un simple cambio de variable para obtener esta última Integral:

$\begin{equation*} \int \cos\left(\sqrt{x}\right)\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) - 2\,\int \frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}\cdot dx = 2\,\sqrt{x}\cdot\sin\left(\sqrt{x}\right) + 2\,\cos\left(\sqrt{x}\right) + C \end{equation*}$

Con esto terminamos.

Muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicarselo a alguien más?

noviembre 29, 2018

Posts | Courses

Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de 4 libros de matemáticas de la escuela secundaria (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática.El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Él ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en nivel superior (nivel universitario). En este último caso, para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y honors, en español al igual que en inglés.

Website : https://www.aprendematematicas.org.mx/members/efrain-soto-apolinar/

0 responses on "Artificio para completar el diferencial"

Leave a Message Cancelar respuesta

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Artificio para completar el diferencial

Otro artificio matemático que permite calcular una Antiderivada.

Efraín Soto Apolinar

0 responses on "Artificio para completar el diferencial"

Leave a Message Cancelar respuesta