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Aproximación de la raíz cuadrada de 23

Se explica cómo utilizar el binomio al cuadrado para aproximar una raíz cuadrada.

En facebook me encontré una pregunta de una persona de otro país (la publicación está en Inglés) y me animé a ayudarlo. Esta persona solicitaba un método para aproximar la raíz cuadrada de 23. El procedimiento que comparto en este espacio es exactamente el mismo que utilicé para explicar a esta persona cómo aplicar el binomio al cuadrado para calcular dicha aproximación.

Puesto que 5^2 = 25, empieza con (x + 5)^2 = 23 y con este valor intenta calcular un valor aproximado de x. Parece obvio que |x| < 1 (si sustituyes (5 + 1)^2 o bien, (5 - 1)^2 obtienes un valor más alejado de 23). Por lo tanto x^2 < |x|. Con esta información a la mano,

    \begin{equation*} 23 = (5 + x)^2 = 25 + 10\,x + x^2 \end{equation*}

Para evitar el uso de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado (si la usamos obtendremos el valor exacto y buscamos solamente una aproximación), eliminemos el término cuadrático (x^2) y resolvamos la ecuación lineal resultante para calcular un valor aproximado de x:

    \begin{equation*} 23 = 25 + 10\,x \qquad\Rightarrow\qquad 10\,x = -2 \qquad\Rightarrow\qquad x = -\frac{1}{5} \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 5 + x = 5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} \end{equation*}

Se puede afirmar que 24/5 \approx \sqrt{23}, porque:

    \begin{equation*} \left(\frac{24}{5}\right)^2 = \frac{576}{25} = 23.04 \end{equation*}

Para mejorar esta aproximación, se vuelve a iterar usando el mismo procedimiento, pero en lugar de usar 5, utilizamos 24 / 5:

    \begin{equation*} 23 = \left(\frac{24}{5} + x\right)^2 = \frac{576}{25} + \frac{48}{5}\,x + x^2 \end{equation*}

Como en el caso anterior, supongamos que x^2 es más pequeño que |x| y eliminémoslo para calcular el valor aproximado de x resolviendo la ecuación lineal:

    \begin{eqnarray*} 23 = \frac{576}{25} + \frac{48}{5}\,x \quad&\Rightarrow&\\ \frac{48}{5}\,x = 23 - \frac{576}{25} \quad&\Rightarrow&\\ \frac{48}{5}\,x = -\frac{1}{25} \quad&\Rightarrow&\\ x = - \frac{1}{240} && \end{eqnarray*}

Consecuentemente,

    \begin{equation*} \frac{24}{5} + x = \frac{24}{5} - \frac{1}{240} = \frac{24}{5} \cdot \frac{48}{48} - \frac{1}{240} = \frac{1152}{240} - \frac{1}{240} = \frac{1151}{240} \end{equation*}

Si calculamos el cuadrado de esta segunda aproximación se obtiene:

    \begin{equation*} \left(\frac{1151}{240}\right)^2 = \frac{1324801}{57600} \approx 23.0000173611111 \end{equation*}

Una muy buena aproximación. Si se desea mejorar la aproximación se puede iterar cuantas veces sea necesario.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

febrero 29, 2020
Posts | Cursos
Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de 4 libros de matemáticas de la escuela secundaria (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática. El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en el nivel superior (nivel universitario). En este último caso, ha impartido cursos de matemáticas para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y Honors, en Español al igual que en Inglés.

Website : https://www.aprendematematicas.org.mx/members/efrain-soto-apolinar/

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