Aproximación de la raíz cuadrada de 23

En facebook me encontré una pregunta de una persona de otro país (la publicación está en Inglés) y me animé a ayudarlo. Esta persona solicitaba un método para aproximar la raíz cuadrada de 23. El procedimiento que comparto en este espacio es exactamente el mismo que utilicé para explicar a esta persona cómo aplicar el binomio al cuadrado para calcular dicha aproximación.

Puesto que $5^2 = 25$ , empieza con $(x + 5)^2 = 23$ y con este valor intenta calcular un valor aproximado de $x$ . Parece obvio que $|x| < 1$ (si sustituyes $(5 + 1)^2$ o bien, $(5 - 1)^2$ obtienes un valor más alejado de 23). Por lo tanto $x^2 < |x|$ . Con esta información a la mano,

$\begin{equation*} 23 = (5 + x)^2 = 25 + 10\,x + x^2 \end{equation*}$

Para evitar el uso de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado (si la usamos obtendremos el valor exacto y buscamos solamente una aproximación), eliminemos el término cuadrático ( $x^2$

) y resolvamos la ecuación lineal resultante para calcular un valor aproximado de $x$

$\begin{equation*} 23 = 25 + 10\,x \qquad\Rightarrow\qquad 10\,x = -2 \qquad\Rightarrow\qquad x = -\frac{1}{5} \end{equation*}$

Por lo tanto,

$\begin{equation*} 5 + x = 5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} \end{equation*}$

Se puede afirmar que $24/5 \approx \sqrt{23}$

, porque:

$\begin{equation*} \left(\frac{24}{5}\right)^2 = \frac{576}{25} = 23.04 \end{equation*}$

Para mejorar esta aproximación, se vuelve a iterar usando el mismo procedimiento, pero en lugar de usar 5, utilizamos $24 / 5$

$\begin{equation*} 23 = \left(\frac{24}{5} + x\right)^2 = \frac{576}{25} + \frac{48}{5}\,x + x^2 \end{equation*}$

Como en el caso anterior, supongamos que $x^2$

es más pequeño que $|x|$

y eliminémoslo para calcular el valor aproximado de $x$

resolviendo la ecuación lineal:

$\begin{eqnarray*} 23 = \frac{576}{25} + \frac{48}{5}\,x \quad&\Rightarrow&\\ \frac{48}{5}\,x = 23 - \frac{576}{25} \quad&\Rightarrow&\\ \frac{48}{5}\,x = -\frac{1}{25} \quad&\Rightarrow&\\ x = - \frac{1}{240} && \end{eqnarray*}$

Consecuentemente,

$\begin{equation*} \frac{24}{5} + x = \frac{24}{5} - \frac{1}{240} = \frac{24}{5} \cdot \frac{48}{48} - \frac{1}{240} = \frac{1152}{240} - \frac{1}{240} = \frac{1151}{240} \end{equation*}$

Si calculamos el cuadrado de esta segunda aproximación se obtiene:

$\begin{equation*} \left(\frac{1151}{240}\right)^2 = \frac{1324801}{57600} \approx 23.0000173611111 \end{equation*}$

Una muy buena aproximación. Si se desea mejorar la aproximación se puede iterar cuantas veces sea necesario.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

febrero 29, 2020

Posts | Cursos

Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de varios libros de matemáticas de bachillerato (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática. El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en el nivel universitario. En este último caso, ha impartido cursos de matemáticas para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y Honors, en Español al igual que en Inglés.

Website : https://www.aprendematematicas.org.mx/members/efrain-soto-apolinar/

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Aproximación de la raíz cuadrada de 23

Se explica cómo utilizar el binomio al cuadrado para aproximar una raíz cuadrada.

Efraín Soto Apolinar

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