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Aproximación de la raíz cuadrada de 23

Se explica cómo utilizar el binomio al cuadrado para aproximar una raíz cuadrada.

En facebook me encontré una pregunta de una persona de otro país (la publicación está en Inglés) y me animé a ayudarlo. Esta persona solicitaba un método para aproximar la raíz cuadrada de 23. El procedimiento que comparto en este espacio es exactamente el mismo que utilicé para explicar a esta persona cómo aplicar el binomio al cuadrado para calcular dicha aproximación.

Puesto que 5^2 = 25, empieza con (x + 5)^2 = 23 y con este valor intenta calcular un valor aproximado de x. Parece obvio que |x| < 1 (si sustituyes (5 + 1)^2 o bien, (5 - 1)^2 obtienes un valor más alejado de 23). Por lo tanto x^2 < |x|. Con esta información a la mano,

    \begin{equation*} 23 = (5 + x)^2 = 25 + 10\,x + x^2 \end{equation*}

Para evitar el uso de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado (si la usamos obtendremos el valor exacto y buscamos solamente una aproximación), eliminemos el término cuadrático (x^2) y resolvamos la ecuación lineal resultante para calcular un valor aproximado de x:

    \begin{equation*} 23 = 25 + 10\,x \qquad\Rightarrow\qquad  10\,x = -2 \qquad\Rightarrow\qquad  x = -\frac{1}{5} \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*}    5 + x = 5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} \end{equation*}

Se puede afirmar que 24/5 \approx \sqrt{23}, porque:

    \begin{equation*} \left(\frac{24}{5}\right)^2 = \frac{576}{25} = 23.04 \end{equation*}

Para mejorar esta aproximación, se vuelve a iterar usando el mismo procedimiento, pero en lugar de usar 5, utilizamos 24 / 5:

    \begin{equation*} 23 = \left(\frac{24}{5} + x\right)^2 = \frac{576}{25} + \frac{48}{5}\,x + x^2 \end{equation*}

Como en el caso anterior, supongamos que x^2 es más pequeño que |x| y eliminémoslo para calcular el valor aproximado de x resolviendo la ecuación lineal:

    \begin{eqnarray*} 23 = \frac{576}{25} + \frac{48}{5}\,x \quad&\Rightarrow&\\ \frac{48}{5}\,x = 23 - \frac{576}{25} \quad&\Rightarrow&\\ \frac{48}{5}\,x = -\frac{1}{25} \quad&\Rightarrow&\\ x = - \frac{1}{240} && \end{eqnarray*}

Consecuentemente,

    \begin{equation*} \frac{24}{5} + x  = \frac{24}{5}  - \frac{1}{240} = \frac{24}{5} \cdot \frac{48}{48} - \frac{1}{240}  = \frac{1152}{240} - \frac{1}{240} = \frac{1151}{240}  \end{equation*}

Si calculamos el cuadrado de esta segunda aproximación se obtiene:

    \begin{equation*} \left(\frac{1151}{240}\right)^2 = \frac{1324801}{57600} \approx 23.0000173611111 \end{equation*}

Una muy buena aproximación. Si se desea mejorar la aproximación se puede iterar cuantas veces sea necesario.

Es muy fácil, ¿verdad?

¿Puedes explicárselo a alguien más?

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